Note sur la linéarisation des groupes abéliens finis

Aurélien Djament – GJM, Volume 11, Issue 1 (2026), 35-52.

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• août 4, 2026
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Si K est un corps commutatif possédant assez de racines de l’unité et V un groupe abélien fini, la K-algèbre K[V] du groupe V est semi-simple déployée, de sorte que le morphisme canonique K[V]\to K^{V^\sharp}, où V^\sharp désigne le groupe dual de V (qu’on peut voir comme \mathrm{Hom}(V,K^\times)), est un isomorphisme de K-algèbres. Si l’on supprime l’hypothèse que K contient assez de racines de l’unité, on peut en déduire facilement (en utilisant une extension des scalaires et Krull-Schmidt) qu’il demeure un isomorphisme, cette fois-ci seulement K-linéaire, K[V]\xrightarrow{\simeq} K^{V^\sharp} naturel en le groupe V si l’on impose à l’avance que V est annulé par un entier non nul fixé [1][prop. 3.3]. La question de savoir s’il existe un tel isomorphisme naturel en le groupe abélien V, sans d’autre restriction que V fini et d’ordre inversible dans K, est moins évidente ; nous la résolvons ici positivement, dans un cas un peu plus général (K étant un anneau commutatif quelconque), en utilisant des sommes de Gauss. Nous explorons également quelques questions fonctorielles reliées.

Milestones:

Received: January 16, 2026
Accepted: March 10, 2026
Published: July 30, 2026

Authors:

Aurélien Djament
CNRS, UMR 7539,
Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications, LAGA,
Université Sorbonne Paris Nord, F-93430, Villetaneuse, France.

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